Come fare la verifica delle equazioni
La verifica delle equazioni è un passaggio indispensabile per chiunque debba lavorare con le formule matematiche, dai problemi scolastici a quelli scientifici o finanziari. In questa guida spiegheremo come eseguire la verifica delle equazioni, analizzando ogni step e fornendo alcuni esempi pratici.
Prima di addentrarci nei dettagli della verifica, però, dobbiamo capire cosa si intende per “equazione”. In matematica, un’equazione è un’affermazione che indica l’uguaglianza tra due espressioni. Queste espressioni sono costituite da numeri, variabili (ovvero valori che possono cambiare) e simboli operativi come +, -, * e /.
Ad esempio, l’equazione “3x + 2 = 11” indica che la somma tra il triplo di x e 2 è uguale a 11. Per verificare se questa equazione è corretta, dobbiamo seguire i seguenti step.
Step 1: Trasporre i termini
Il primo passo per la verifica delle equazioni consiste nel trasporre i termini dell’equazione in modo da avere tutti i valori noti da una parte e tutte le variabili dall’altra. Partiamo dall’esempio sopra:
3x + 2 = 11
In questo caso, dobbiamo spostare il termine “2” dalla parte sinistra dell’uguale alla destra. Per farlo, dobbiamo sottrarlo a entrambi i membri dell’equazione:
3x = 9
A questo punto, abbiamo isolato la variabile x e possiamo passare al secondo step.
Step 2: Risolvere la variabile
Ora che abbiamo l’equazione nella forma “variabile = valore”, possiamo risolvere la variabile. Nel nostro caso, dobbiamo dividere entrambi i membri per il coefficiente di x (cioè il numero che precede la variabile):
x = 3
Questo significa che il valore della variabile x è 3, e possiamo verificare se l’uguaglianza iniziale è corretta sostituendo il valore di x nell’equazione iniziale:
3x + 2 = 11
3(3) + 2 = 11
9 + 2 = 11
L’uguaglianza è verificata, e possiamo concludere che la soluzione dell’equazione è x = 3.
Questi sono gli step fondamentali per la verifica delle equazioni. Tuttavia, ci sono alcuni casi particolari che richiedono attenzione.
Casi particolari
Nei casi in cui l’equazione contiene frazioni, radici quadrate o esponenti, può essere necessario eseguire ulteriori operazioni per semplificare l’espressione e arrivare alla soluzione. Vediamo alcuni esempi.
Frazioni
Supponiamo di avere l’equazione:
2x – 1/2 = 3
In questo caso, dobbiamo eliminare la frazione dalla parte sinistra dell’uguale. Moltiplicando entrambi i membri per il suo denominatore (il numero che compare sotto la linea), otteniamo:
4x – 1 = 6
A questo punto, possiamo risolvere la variabile come abbiamo fatto prima:
4x = 7
x = 7/4
Per verificare l’uguaglianza finale, sostituiamo il valore di x nell’equazione iniziale:
2x – 1/2 = 3
2(7/4) – 1/2 = 3
7/2 – 1/2 = 3
6/2 = 3
L’uguaglianza è verificata.
Radici quadrate
Supponiamo ora di avere l’equazione:
√x + 3 = 5
In questo caso, dobbiamo isolare la radice quadra dalla parte sinistra dell’uguale. Elevando entrambi i membri all’indice 2 (cioè elevando al quadrato), otteniamo:
x + 6√x + 9 = 25
Questa espressione non è ancora nella forma “variabile = valore”, ma possiamo semplificarla scomponendo la radice quadra:
(√x + 3)(√x + 3) = 25
x + 6√x + 9 = 25
A questo punto, possiamo risolvere la variabile:
x = 4
Per verificare l’uguaglianza finale, sostituiamo il valore di x nell’equazione iniziale:
√x + 3 = 5
√4 + 3 = 5
2 + 3 = 5
L’uguaglianza è verificata.
Esponenti
Infine, supponiamo di avere l’equazione:
2^(x-1) = 4
In questo caso, dobbiamo isolare l’esponente dalla parte sinistra dell’uguale. Per farlo, dovremo applicare il logaritmo naturale (ln) a entrambi i membri:
ln(2^(x-1)) = ln(4)
(x-1)ln(2) = ln(4)
A questo punto, possiamo risolvere la variabile:
x = ln(4)/ln(2) + 1
Per verificare l’uguaglianza finale, sostituiamo il valore di x nell’equazione iniziale:
2^(x-1) = 4
2^(ln(4)/ln(2) + 1 – 1) = 4
2^(ln(4)/ln(2)) = 4
2^2 = 4
L’uguaglianza è verificata.
Seguendo questi step e tenendo conto di eventuali casi particolari, potrete verificare ogni tipo di equazione.
Per comprendere meglio il concetto di equazione è possibile visitare il nostro articolo sulle equazioni.
Il primo passo per la verifica delle equazioni è fondamentale per capire se ci sono parentesi. Spesso le equazioni comprendono delle parentesi che sono state utilizzate per raggruppare alcuni termini. Per controllare se ci sono parentesi, bisogna cercare delle coppie di parentesi aperte e chiuse, per poi risolverle seguendo l’ordine corretto delle operazioni.
L’ordine delle operazioni è il seguente: prima le parentesi, poi le espressioni contenenti potenze e radici, poi le moltiplicazioni e le divisioni, e infine le addizioni e le sottrazioni. Bisogna anche prestare attenzione alle parentesi annidate, dove all’interno di una parentesi c’è un’altra parentesi.
Se ci sono parentesi, si deve prima risolverle seguendo l’ordine delle operazioni, poi si può controllare se l’equazione è giusta o sbagliata. In caso contrario, si deve procedere con la risoluzione degli altri termini.
Step due: Risolvere le potenze e le radici
Il secondo passo per la verifica delle equazioni è risolvere le potenze e le radici. Ricordiamo che la radice è l’operazione inversa della potenza. Per risolvere le potenze, si deve elevare il numero alla potenza indicata dall’esponente. Ad esempio, se abbiamo il numero 2 elevato alla potenza 3, dobbiamo calcolare 2x2x2=8.
Per quanto riguarda le radici, invece, bisogna trovare un numero che elevato alla potenza indicata dalla radice dia il numero dato. Ad esempio, se abbiamo la radice quadrata di 25, dobbiamo trovare un numero x che elevato alla seconda potenza dia 25. In questo caso, il numero x è 5, perché 5×5=25.
Step tre: Risolvere le moltiplicazioni e le divisioni
Il terzo passo per la verifica delle equazioni è risolvere le moltiplicazioni e le divisioni. In questo caso, bisogna tenere conto della priorità tra le due operazioni. Si deve infatti risolvere prima le moltiplicazioni e poi le divisioni.
Se ci sono più moltiplicazioni o divisioni, bisogna risolverle partendo dall’operazione che si trova più vicina alle parentesi, seguendo poi l’ordine delle operazioni. Dopo aver risolto le moltiplicazioni e le divisioni, si può passare alla verifica dell’equazione.
Step quattro: Risolvere le addizioni e le sottrazioni
Infine, il quarto passo per la verifica delle equazioni è risolvere le addizioni e le sottrazioni. Anche in questo caso, bisogna tenere conto della priorità tra le due operazioni. Si deve infatti risolvere prima le addizioni e poi le sottrazioni.
Se ci sono più addizioni o sottrazioni, bisogna risolverle partendo dall’operazione che si trova più vicina alle parentesi, seguendo poi l’ordine delle operazioni. Dopo aver risolto le addizioni e le sottrazioni, si può verificare se l’equazione è giusta o sbagliata.
In caso di equazione giusta, l’operazione è stata eseguita correttamente e si può quindi procedere senza problemi. In caso contrario, bisogna ripetere i passi precedenti, controllando di aver eseguito tutte le operazioni seguendo l’ordine corretto.
In conclusione, la verifica delle equazioni è un’operazione fondamentale per capire se un’equazione è corretta o meno. Bisogna seguire l’ordine delle operazioni e prestare attenzione alla presenza di parentesi e alle relative priorità. Con un po’ di pratica e attenzione, la verifica delle equazioni diventa un’operazione semplice e immediata.
Quando ci troviamo di fronte a una equazione che contiene potenze, la prima cosa da fare è sempre risolvere le potenze. Ciò significa che dobbiamo calcolare il valore delle potenze in modo che l’equazione diventi più semplice e facile da gestire.
In generale, quando incontriamo una potenza in un’equazione, dobbiamo elevare alla potenza indicata la base della potenza stessa. Ad esempio, se abbiamo un’equazione del tipo:
2^2 x 2^3 = ?
Per risolvere questa equazione dobbiamo prima eseguire le operazioni all’interno della potenza. Quindi, dobbiamo calcolare il valore di 2 elevato alla seconda potenza e di 2 elevato alla terza potenza. In questo caso, abbiamo:
2^2 = 4
2^3 = 8
Quindi, l’equazione originale diventa:
4 x 8 = ?
Che alla fine si risolve con la moltiplicazione tra i due numeri, ottenendo come risultato 32.
Tuttavia, ci possono essere casi in cui le potenze sono più complicate e non possiamo risolverle immediatamente. In questi casi, dobbiamo applicare le regole delle potenze per semplificare l’equazione il più possibile.
Ad esempio, se abbiamo un’equazione del tipo:
2^5 x 2^(-3) = ?
Non possiamo risolvere le potenze immediatamente, perché la seconda potenza ha un esponente negativo. In questo caso, dobbiamo applicare la regola delle potenze che ci dice che:
a^n x a^(-m) = a^(n-m)
In pratica, dobbiamo sottrarre l’esponente negativo dall’esponente positivo della stessa base. Quindi, nell’equazione precedente, abbiamo:
2^5 x 2^(-3) = 2^(5-3) = 2^2
A questo punto, abbiamo semplificato l’equazione e possiamo risolvere la potenza facilmente, ottenendo come risultato 4.
In definitiva, risolvere le potenze è un passaggio fondamentale per risolvere le equazioni in modo corretto e accurato. Anche in questo caso, è importante avere un’ottima conoscenza delle regole delle potenze e delle tecniche di calcolo per semplificare le equazioni il più possibile. Con un po’ di pratica e di studio, sarà possibile risolvere anche le equazioni più complesse con facilità e sicurezza.
Per verificare le equazioni è possibile utilizzare il metodo di sostituzione o il metodo di riduzione, a seconda dei casi.
Step tre: Moltiplicare e dividere
Dopo aver identificato e risolto le parentesi e le potenze presenti nell’equazione, il terzo passo consiste nell’effettuare tutte le moltiplicazioni e divisioni presenti nell’equazione. Questo passaggio va svolto seguendo l’ordine corretto delle operazioni.
Innanzitutto, dobbiamo ricordare che le operazioni di moltiplicazione e divisione hanno la stessa priorità e quindi vanno svolte nell’ordine in cui si presentano nell’equazione, sempre da sinistra a destra. Se ci sono più operazioni di moltiplicazione e divisione da svolgere, va prima svolta l’operazione che si presenta per prima a sinistra.
Per esempio, consideriamo l’equazione seguente:
4 + 3 × 5 ÷ 2 – 1 = ?
In questo caso, dobbiamo prima moltiplicare 3 per 5 e ovviamente otteniamo 15. Quindi dobbiamo dividere 15 per 2 e otteniamo 7,5. Infine dobbiamo sommare 4 e sottrarre 1 al risultato trovato, ottenendo:
4 + 3 × 5 ÷ 2 – 1 = 7,5
In alcuni casi, potrebbe essere utile semplificare prima le frazioni presenti nell’equazione. Per fare ciò, dobbiamo prima trovare il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori delle frazioni. Successivamente, dobbiamo moltiplicare e dividere in modo tale da ottenere il mcm trovato al denominatore di ogni frazione.
Consideriamo l’equazione seguente, ad esempio:
6 ÷ 5 + 2/3 = ?
In questo caso, il minimo comune multiplo tra 5 e 3 è 15. Dunque la frazione 2/3 va moltiplicata per 5 e divisa per 5, in modo tale da ottenere il denominatore 15. Successivamente, dovremo dividere 6 per 5 e sommare il risultato con la frazione 10/15. Troviamo quindi:
6 ÷ 5 + 2/3 = (18 ÷ 15) + 10/15 = 1,2 + 0,67 = 1,87
È importante ricordare che le operazioni di moltiplicazione e divisione sono inverse tra di loro, ossia una moltiplicazione può essere vista come una divisione e viceversa. Pertanto, possiamo sempre sostituire una moltiplicazione con una divisione e viceversa.
Per esempio:
8 × 4 = 32 può essere sostituito con 32 ÷ 4 = 8
10 ÷ 2 = 5 può essere sostituito con 5 × 2 = 10
In generale, il terzo passo della verifica di un’equazione consiste sempre nell’effettuare tutte le operazioni di moltiplicazione e divisione nell’ordine corretto delle operazioni, ossia seguendo l’ordine di operazioni di sinistra a destra. In alcuni casi, potrebbe essere necessario semplificare le frazioni presenti nell’equazione per poter svolgere le operazioni in modo più agevole.
La risoluzione di equazioni lineari può essere effettuata anche tramite l’utilizzo della regola di Cramer.
Step quattro: Sommare e sottrarre
Dopo aver moltiplicato e diviso i numeri presenti nell’equazione e aver effettuato tutte le operazioni tra parentesi e potenze, il passo successivo della verifica delle equazioni è quello di sommare e sottrarre.
In questo caso, è importante ricordare l’ordine corretto delle operazioni: prima si effettuano le somme e le sottrazioni all’interno delle parentesi e poi quelle al di fuori.
Ad esempio, se ci troviamo di fronte a un’equazione come:
3x + 5 – 2x = 12
Dobbiamo sommare i termini simili, in questo caso i due monomi 3x e -2x. Otteniamo quindi:
(3x – 2x) + 5 = 12
Che diventa:
1x + 5 = 12
A questo punto, dobbiamo sottrarre 5 da entrambi i membri dell’equazione:
1x = 12 – 5
Che diventa:
1x = 7
Abbiamo così ottenuto il valore della x, che è uguale a 7.
Infine, per verificare che l’uguaglianza dell’equazione sia rispettata, dobbiamo sostituire il valore dellax trovato all’inizio e verificare che entrambi i membri dell’equazione siano uguali.
Quindi, nel nostro esempio, sostituiamo 7 al posto della x:
3(7) + 5 – 2(7) = 12
Effettuando le somme e le sottrazioni:
21 + 5 – 14 = 12
che diventa:
12 = 12
Come abbiamo potuto constatare, l’uguaglianza è rispettata e la soluzione trovata per la x è corretta.
In sintesi, per sommare e sottrarre in un’equazione dobbiamo seguire l’ordine corretto delle operazioni e cercare di semplificare i termini simili, prima di ricavare la soluzione finale. Una volta trovato il valore della incognita, dobbiamo sostituirlo nell’equazione iniziale e verificare che entrambi i membri siano uguali.